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潘承洞與哥德巴赫猜想研究

發布日期:2018年09月17日 10:20 點擊次數:

哥德巴赫猜想

數學王子高斯(C. F. Gauss)有一句名言:“數學是科學的女王”;他又講“數論是數學的王冠”。正如他所說,數論在數學中一直處于醒目的地位。俄國數學家辛欽(A. Ya. Khinchin)曾經評論說,哥德巴赫猜想是數學王冠上的一顆明珠。

哥德巴赫(C. Goldbach)并不是職業數學家,而是一個喜歡研究數學的富家子弟。他于1690年生于德國哥尼斯堡,受過很好的教育。哥德巴赫喜歡到處旅游,結交數學家,然后跟他們通訊。1742年,他在給好友歐拉的一封信里陳述了他著名的猜想——哥德巴赫猜想。歐拉在回信中說,他相信這個猜想是正確的,雖然他不能給出證明。

用當代語言來敘述,哥德巴赫猜想有兩個內容,第一部分叫做奇數的猜想,第二部分叫做偶數的猜想。奇數的猜想指出,任何一個大于等于7的奇數都是三個素數的和。偶數的猜想是說,大于等于4的偶數一定是兩個素數的和。

奇數的哥德巴赫猜想

相對來講,奇數的猜想比較容易,因為它是偶數的猜想的推論。如果每個大偶數都能寫成兩個素數之和,那么我們就能夠證明任何大奇數都是三個素數之和,因為任何奇數減去3都是一個偶數。

關于哥德巴赫猜想的研究,歷史上第一個重要文獻是哈代(G. H. Hardy)和李特伍德(J. E. Littlewood)1921年的偉大論文,在這篇長達70頁的文章里,他們提出了圓法。哈代在英國皇家學會演講時說:“我和李特伍德的工作是歷史上第一次嚴肅地研究哥德巴赫猜想。”雖然此前很多有名的數學家都研究過這個猜想,甚至有人宣布證明了猜想。然而,哈代和李特伍德對奇數猜想的證明依賴于一個條件——廣義黎曼(B. Riemann)猜想——這個猜想到現在也未被證明。在英國人看來,哈代重振了牛頓(I. Newton)以后的英國分析。

1937年,俄國數學家維諾格拉多夫(I. M. Vinogradov)無條件地基本證明了奇數的哥德巴赫猜想。維諾格拉多夫定理指出,任何充分大的奇數都能寫成三個素數之和。也就是說,在數軸上取一個大數,從這個數往后看,哥德巴赫猜想都對;在這個數前面的奇數,需要用手或計算機來驗證。然而,至今計算機還未能觸及那個大數。

維諾格拉多夫的證明發表之后,又出現了幾個新證明。這些證明既簡潔,又提供了完全不同的方法。在這些新證明中,有三個特別應該強調的:一個是俄國數學家林尼克(Yu. V. Linnik)的,再一個是潘承彪先生的;還有英國數學家沃恩(R. C. Vaughan)的。在相當長的一個階段內,人們認為林尼克是離哥德巴赫猜想很近的人,他對哥德巴赫猜想進行了深入的研究。與此同時,他還是一個很好的數理統計學家。

偶數哥德巴赫猜想

很遺憾,偶數的哥德巴赫猜想到現在都沒有得到證明。但是,數學家們從各個方向逼近這個猜想,并且取得了輝煌的成就。研究偶數的哥德巴赫猜想主要有四個途徑,其中幾乎每個途徑都有潘承洞的工作。這四個途徑分別是:殆素數,例外集合,小變量的三素數定理,以及幾乎哥德巴赫問題。

途徑一:殆素數

殆素數就是素因子個數不多的正整數。現設N是偶數,雖然現在不能證明N是兩個素數之和,但是可以證明它能夠寫成兩個殆素數的和,即N=A+B,其中A和B的素因子個數都不太多,譬如說素因子個數不超過10。現在用“a+b”來表示如下命題:每個大偶數N都可表為A+B,其中A和B的素因子個數分別不超過a和b。顯然,哥德巴赫猜想就可以寫成“1+1”。在這一方向上的進展都是用所謂的篩法得到的。

1920年,布朗(V. Brun)首先取得突破性的進展,證明了命題“9+9”。后續進展如下:哈德馬赫(H. Rademacher),1924,“7+7”;艾斯特曼(T. Estermann),1932,“6+6”;里奇(G. Ricci),1937,“5+7”;布赫施塔伯(A. A. Buchstab),1938,“5+5”;布赫施塔伯,1940,“4+4”;庫恩(P. Kuhn),1941,a+b小于或等于6。1950年,菲爾茲獎得主塞爾伯格(A. Selberg)改進了篩法。王元先生1956年證明了“3+4”。另一個俄國數學家阿?依?維諾格拉多夫(A. I. Vinogradov)1957年證明了“3+3”,王元先生1957年進一步證明了“2+3”。

上述結果有一個共同的特點,就是a和b中沒有一個是1,即A和B沒有一個是素數。所以,要是能證明a=1,再改進b,那就是一件更了不起的工作。林尼克1941年提出來的大篩法使得這項工作成為可能。后來,林尼克的學生、匈牙利數學家蘭易(A. Rényi)深入地研究了大篩法,并在1948年證明了命題“1+b”。用王元先生的話說,這個b是個天文數字。當時,沒有人知道b究竟有多大。這個b的數值依賴于素數在算術級數中平均分布的水平,即另外一個重要常數θ的值。

此后便是潘承洞先生的偉大工作。1962年,28歲的潘承洞定出θ可以取1/3,從而推出命題“1+5”,一下子把b從天文數字降到了5。這是一個決定性的突破。王元先生改進篩法之后,證明了“1+4”。同一年,潘老師又得到了一個更大的θ=3/8。從3/8出發,潘老師也證明了“1+4”。然后,布赫施塔伯證明了3/8蘊涵命題“1+3”,即從潘老師的θ=3/8可以推出命題“1+3”來。以上結果表明,θ做得越大,b就越小。但θ不能太大,其可能的最大值是1/2;比1/2再大,均值定理的形式就會發生變化,所以可以認為1/2是最佳。1965年,θ的最佳值1/2被取到,這個定理就叫做龐比埃里-維諾格拉多夫(E. Bombieri-A. I. Vinogradov)定理,是龐比埃里和阿?依?維諾格拉多夫獨立證明的。龐比埃里是意大利數學家,因為這項工作獲得了菲爾茲獎。雖然龐比埃里證明了θ能取到1/2,但是他未能證明“1+2”。

命題“1+2”的證明是陳景潤先生完成的。1966年,陳景潤先生在《科學通報》上登了命題“1+2”證明的簡報,此后“文化大革命”開始,《科學通報》與《中國科學》隨即停刊。直到1973年《中國科學》復刊之后,陳先生“1+2”證明的全文才得以發表。

以上是沿著殆素數方向研究哥德巴赫猜想的進展。直到現在,“1+2”還是最好的結果。雖然突破“1+2”就會得到“1+1”,但是大家公認再用篩法去證明“1+1”幾乎是不可能的,只有發展革命性的新方法,才有可能證明“1+1”。所以,哈伯斯坦(H. Halberstam)與里切特(H. E. Richert)在他們的名著《篩法》(Sieve Methods)的最后一章指出:“陳氏定理是所有篩法理論的光輝頂點。”

途徑二:例外集合

在數軸上取定大整數x,再從x往前看,尋找使得哥德巴赫猜想不成立的那些偶數,即例外偶數。x之前所有例外偶數的個數記為E(x)。我們希望,無論x多大,x之前只有一個例外偶數,那就是2,即只有2使得猜想是錯的。這樣一來,哥德巴赫猜想就等價于E(x)永遠等于1。當然,直到現在還不能證明E(x)=1;但是能夠證明E(x)遠比x小。在x前面的偶數個數大概是x/2;如果當x趨于無窮大時,E(x)與x的比值趨于零,那就說明這些例外偶數密度是零,即哥德巴赫猜想對于幾乎所有的偶數成立。這就是例外集合的思路。

維諾格拉多夫的三素數定理發表于1937年。第二年,在例外集合這一途徑上,就同時出現了四個證明,其中包括華羅庚先生的著名定理。

我們的目標是證明E(x)的上界是x的零次方,然而1938年E(x)上界的世界記錄基本上是x的1次方,二者相差很遠。因此降低該上界中x的方次將是一件很重要的事。1975年,蒙哥馬利(H. L. Montgomery)與沃恩證明存在一個小于1的正數δ,使得E(x)的上界是x的δ次方。1979年,潘承洞與陳景潤合作,證明了這個δ可以取0-99。按照潘承洞與陳景潤的思路,后來有很多人都改進了δ的值。

途徑三:小變量的三素數定理

上文曾經提到,如果偶數的哥德巴赫猜想正確,那么奇數的猜想也正確。我們可以把這個問題反過來思考。已知奇數N可以表成三個素數之和,假如又能證明這三個素數中有一個非常小,譬如說第一個素數可以總取3,那么我們也就證明了偶數的哥德巴赫猜想。這個思想就促使潘承洞在1959年,即他25歲時,研究有一個小素變數的三素數定理。這個小素變數不超過N的θ次方。我們的目標是要證明θ可以取0,即這個小素變數有界,從而推出偶數的哥德巴赫猜想。潘承洞首先證明θ可取1/4。后來的很長一段時間內,這方面的工作一直沒有進展,直到1995年展濤把潘承洞的定理推進到7/120。

途徑四:幾乎哥德巴赫問題

1953年,林尼克發表了一篇長達70頁的論文。在文中,他率先研究了幾乎哥德巴赫問題,證明了,存在一個固定的非負整數k,使得任何大偶數都能寫成兩個素數與k個2的方冪之和。這個定理,看起來好像丑化了哥德巴赫猜想,實際上它是非常深刻的。我們注意,能寫成k個2的方冪之和的整數構成一個非常稀疏的集合;事實上,對任意取定的x,x前面這種整數的個數不會超過log x的k次方。因此,林尼克定理指出,雖然我們還不能證明哥德巴赫猜想,但是我們能在整數集合中找到一個非常稀疏的子集,每次從這個稀疏子集里面拿一個元素貼到這兩個素數的表達式中去,這個表達式就成立。這里的k用來衡量幾乎哥德巴赫問題向哥德巴赫猜想逼近的程度,數值較小的k表示更好的逼近度。顯然,如果k等于0,幾乎哥德巴赫問題中2的方冪就不再出現,從而,林尼克的定理就是哥德巴赫猜想。

林尼克1953年的論文并沒有具體定出k的可容許數值,此后四十多年間,人們還是不知道一個多大的k才能使林尼克定理成立。但是按照林尼克的論證,這個k應該很大。1999年,劉建亞與廖明哲及王天澤合作,首次定出k的可容許值54000。這第一個可容許值后來被不斷改進。其中有兩個結果必須提到,即李紅澤、王天澤獨立地得到k=2000。目前最好的結果k=13是英國數學家希思-布朗(D. R. Heath-Brown)和德國數學家普赫塔(Puchta)合作取得的,這是一個很大的突破。

1982年,潘承洞以在“哥德巴赫猜想研究”中取得的卓越成就,與陳景潤、王元一起,獲得了國家自然科學一等獎。此后,潘承洞致力于哥德巴赫猜想的最終解決。


【供稿單位:《山大第一》    作者:             編輯:新聞中心總編室    責任編輯:榭亭 王莉莉  】

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